martes, julio 08, 2008

Entre Mozart y la Bomba

Todas las cosas estan llenas de música. No, no es una metáfora, estoy hablando muy en serio: todos y cada uno de los objetos que componen nuestra experiencia cotidiana no son sino sofisticados instrumentos musicales. Tal conclusión se obtiene usando la rama más antigua de la física conocida como Mecánica Clásica o Analítica, que estudia la forma en la que los objetos se mueven (y valga aclarar que no estoy hablando aquí de la rama más moderna conocida como Mecánica Cuántica, de la que ya hablé antes una, dos y tres veces, sino de su frecuentemente olvidada antepasada creada por Galileo, Newton, Lagrange y otros durante los siglos XVI a XVIII).

La mecánica analítica dice que los objetos se pueden mover de tres formas básicas diferentes. Los objetos muy pequeños, de los cuales no podemos distinguir ninguna característica esencial salvo su posición, como por ejemplo una partícula de polvo, sólo pueden trasladarse, es decir cambiar su posición a medida que transcurre el tiempo. Llamamos a tales objetos pequeños partículas. Objetos más grandes con una forma definida, como por ejemplo una copa o una mesa, pueden, además de trasladarse, rotar, es decir cambiar su orientación girando a medida que transcurre el tiempo. Llamamos a estos objetos con forma propia cuerpos. Incluso aquéllos objetos grandes que no tienen forma definida, como el vino dentro la copa o el humo del cigarrillo, también pueden trasladarse y rotar, como sucede cada vez que se produce una corriente o un remolino. Estos objetos sin forma propia se denominan fluidos. Finalmente, tanto los cuerpos como los fluídos pueden vibrar, es decir deformarse casi imperceptiblemente, bamboleándose de ida y de vuelta alrededor de su posición y/o forma visibles.

Cuando escuchamos música, nuestros tímpanos -que son cuerpos según la clasificación de arriba- en forma de fina membrana plana circular en el interior de nuestros oídos, vibran, es decir que se deforman ligeramente balanceándose hacia adelante y hacia atrás alrededor de su posición promedio. La velocidad de ese bamboleo es lo que determina el tono que escuchamos. Escuchamos tonos agudos cuando nuestros tímpanos oscilan muy rápidamente, mientras que en cambio oimos tonos más graves cuando la oscilación es más lenta. Por supuesto que los tímpanos no se mueven por voluntad propia sino que lo hacen impulsados por el aire a su alrededor.

En efecto, el aire -que es un fluído según la clasificación anterior- puede trasladarse, creando lo que llamamos viento o brisa, puede rotar creando remolinos o tornados, y puede vibrar, creando los sonidos. En una sala llena de música, cada pequeña porción de aire se deforma mediante ligeras expansiones y contracciones, oscilando con una rapidez que depende de la nota tocada. Aquellas porciones de aire que están dentro de nuestros oídos impulsan nuestros tímpanos permitiéndonos disfutar del concierto. No lo hacen por moto propio sino estimuladas por las porciones de aire vecinas, quienes a su vez vibran respondiendo a lo que porciones más alejadas hacen. Así hasta llegar al violín reponsable de la música.

La cuerda de violín es un cuerpo, en forma de cilindro fino que se extiende entre dos soportes. Cuando vibra, oscila hacia arriba y hacia abajo deformánose casi invisiblemente. Dependiendo de la distancia entre los soportes y de qué tan tensa esté la cuerda, obtenemos una nota dada. Esta nota, que está completamente determinada por la longitud, tensión y material de la cuerda, se llama tono fundamental de dicha cuerda. Además del tono fundamental, la cuerda puede vibrar en toda una serie de tonos más agudos llamados armónicos. El tono fundamental y los armónicos forman lo que se conoce como el espectro sonoro de la cuerda.

Y aqui viene lo interesante: no sólo la cuerda sino absolutamente todos los cuerpos que nos rodean (mesas, sillas, copas y violines) tienen un espectro sonoro asociado y pueden vibrar en cada uno de los tonos que lo componen. Dicho espectro está completamente deteminado por la forma del cuerpo y el material con el que está construído. Los fluídos en cambio, por no tener forma definida, carecen de un espectro propio y adoptan aquél del recipiente que los contiene. Por ejemplo el aire en la caja de un violín vibra en los tonos correspondientes al espectro de la caja. Es por eso correcto afirmar que todas las cosas están llenas de música.

Calcular el espectro de un cuerpo se reduce a resolver un problema matemático conocido como ecuación de Laplace. Dicha ecuación se encuentra, en razón de su ubicuidad y la multiplicidad de sus usos, entre las más estudiadas de las matemáticas. Ahora bien, si la forma de un cuerpo determina completamente los tonos en los que este cuerpo puede vibrar ¿la inversa es también correcta? Es decir dado el espectro del cuerpo, el conjunto de todos sus tonos de vibración ¿somos o no capaces de adivinar su forma? O en otras palabras ¿podemos escuchar la forma de un tambor?...

Pero la cosa no termina ahí: cuerpos cuyo espectro coincide en todo o en parte se estimulan mutuamente, o resuenan. Si la cuerda del violín está vibrando en un dado tono de su espectro que coincide con alguno de los tonos de la caja, cuando el aire lleva las vibraciones desde la cuerda hasta la caja, esta última comienza a oscilar en dicho tono. Notablemente la oscilación es cada vez más intensa, es decir que los pequeños desplazamientos de las paredes de la caja que constituyen la oscilación son cada vez mayores. Este efecto de resonancia hace que las vibraciones re-transmitidas por la caja al aire se tornen lo bastante intensas como para ser escuchadas por nuestros oídos. Afinar un violin (o cualquier otro instrumento musical) consiste en ajustar el espectro de sus cuerdas con el de su caja, de modo tal que que la resonancia se produzca.

Un último dato: una característica fundamental del espectro de un dado objeto es que sus tonos oscilan independientemente. En otras palabras el cuerpo puede vibrar a la vez en más de uno de sus tonos, y el enmudecer de alguno de ellos no afecta a los demás. Por eso al sonar simultáneamente dos cuerdas de un violín en tonos diferentes, la caja puede resonar con ambas. Esta independencia es menor cuanto más grande es la oscilación y, desaparece cuando ésta es demasiado intensa. En otras palabras los tonos dejan de ser independientes y algunos de ellos comienzan a transformarse en otros. Por ejemplo la cuerda emite un Re, y la caja resuena inicialmente en Re pero luego en Do. Un instrumento musical bien construído debe evitar tales interacciones.

Los instrumentos musicales comparten con las armas el haber sido el fruto de nuestros primeros intentos de manipular el universo, y el haber experimentado milenios de desarrollo empírico hasta que el pensamiento racional unificó los principios que los rigen con los que rigen el movimiento de los astros. Esa historia demuestra que el desarrollo de la ciencia como formalización del conocimiento es motorizado por los intereses humanos, y que no tiene ningún valor moral intrínseco más allá del que le da la sociedad a través de su uso. La ciencia se puede usar para hacer tanto bombas atómicas cuanto saxofones y violines, atribuir al conocimiento un caracter esencialmente constructivo o destructivo es escapar a nuestra responsabilidad moral por el curso de la historia. Sin ciencia no hubiera habido una Hiroshima, pero tampoco hubiera existido un Mozart.

26 comentarios:

  1. Excelente post Severian, muy interesante por cierto. Te hago una pregunta. ¿En los instrumentos eléctricos como es la cuestión?. Porque ahí la cuerda, por ejemplo, vibra, esa vibración se transmite a un micrófono, y éste lo transforma en sonido previo paso por el amplificador (de todos modos se puede escuchar el sonido de la cuerda vibrando aun con el equipo apagado). Porque en esos casos (amplificador prendido o apagado) el instrumento no tiene una caja de resonancia. A menos que un pedazo macizo de madera sirva a esos propósitos.

    Y otra pregunta, ¿porqué se producen los acoples?

    Saludos

    Luk@s

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  2. Una oscilación está definida por

    a) Su frecuencia o tono, es decir el numero de veces que la cuerda va y viene por segundo. Cuanto más rápido lo hace, mas agudo es el tono que escuchamos.

    b) Su aplitud o volúmen, es decir que tan lejos va o viene el centro de la cuerda de su posición de reposo. Cuando mas lejos va y viene, mas fuerte es el sonido que escuchamos.

    Cómo decía en el post, los tonos están fijos dadas la forma y el material del cuerpo que está vibrando, y forman su espectro. En cambio la amplitud depende, dentro de ciertos límites, del estímulo externo que provocó la vibración.

    Un buen paralelo es el de una hamaca: la frecuencia con la que se balancea (su "tono") depende de la longitud de las cadenas que la sostienen el árbol. En cambio que tan lejos nos amaquemos (su "amplitud" o "volumen") depende de que tan fuerte nos estén empujado.

    Pero hay un detalle; si quien nos empuja lo hace "a destiempo", que quiere decir que nos empuja sin seguir el balanceo natural de la hamaca, entonces lo más probable es que a veces nos frene y a veces nos acelere. En cambio si lo hace "a tiempo" es decir dando un empujón cada vez que la hamaca pasa por el mismo lugar, entonces el empujón siempre nos acelerará. Por lo tanto en ese caso la hamaca se balanceará cada vez mas lejos (aumentando así su "amplitud" o "volumen"). Este último fenómeno es el de resonancia.

    La cuerda de una guitarra vibra con alguno de los tonos de su espectro natural, dado por su longitud y su tensión. El volúmen con el que vibra en cambio depende de qué tan fuerte la pulsemos. La cuerda empuja el aire y lo hace vibrar con el mismo tono y el mismo volúmen (que ciertamente como decis se podría escuchar aun sin caja de resonancia).

    Cuando hay una caja de resonancia, el aire empuja las paredes de la caja, ida y vuelta, con el tono que le imprimió la cuerda. Como cuando empujamos la hamaca, si el aire empuja las paredes de la caja "a destiempo" respecto de los tonos del espectro de la caja, nada pasa. Sin embargo, si lo hace "a tiempo", es decir en el mismo tono, la vibración se hace cada vez mayor, y aumenta así su volumen. En consecuencia, si la cuerda esta afinada con la caja, de modo de imprimir al aire un tono que coincida con alguno de los de la caja, esta última hará subir el volumen del sonido.

    Cuando no hay caja de resonancia, como en los instrumentos eléctricos, es necesario algún otro mecanismo para subir ese volumen. La función de un micrófono es transformar los movimientos oscilatorios del aire en movimientos oscilatorios de los electrones dentro de un circuito (haciendolos ir y venir alternativamente por ese circuito). Un transistor insertado en ese circuito usa la energía de una fuente externa para darle empujones a esos electrones. Los empujones son dados "a tiempo", es decir sincronizadamente con la oscilación. De este modo el fenómeno de resonancia entre la oscilación de los electrones provocada por el sonido en el micrófono y el empujon dado por el transistor hace que la amplitud de la oscilación sea cada vez mayor. En los parlantes esa oscilacion de electrones se transforma nuevamente en una oscilación del aire, pero con mucho mayor intensidad.

    El acople se produce cuando el sonido emitido por los parlantes vuelve a entrar por el micrófono. En esta "segunda vuelta" los electrones oscilan dentro del circuito con mucha más amplitud. La vibración es amplificada aún mas por el transistor y mandada de nuevo al aire por los parlantes. Vuelve a entrar por el micrófono y asi.... El problema es que esto no puede seguir indefinidamente, porque siendo el volumen cad a vez más alto, aparecen las "interacciones" que mencionaba en el post. Las oscilaciones ya no son "independientes", y entonces un "do" en la guitarra que se acopla en el amplificador se transforma en un "si" (o algo peor, como ese chirrido agudo insoportable). En el ejemplo de la hamaca, la hamaca se mueve tan fuertemente que el árbol del que cuelga empieza a oscilar en sus tonos fundamentales, que son diferentes del de la hamaca, y que terminan provocando que la hamaca se mueva en un tono distinto de su tono natural.

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  3. Algunas aclaraciones innecesariamente hinchapelotas pero creo que interesantes: en realidad una mota de polvo también es un cuerpo. Que no podamos distinguirla se debe a la limitación de nuestros sentidos nomás, pero con el aumento suficiente veríamos que se trata de un cuerpo como cualquier otro.

    Por eso el humo no es un fluido más que por un engaño de nuestra percepción: son miles y miles de partículas que por ser demasiado livianas se sostienen en el aire, y cada una de ellas es indudablemente un cuerpo.

    O sea que el humo de mi cigarro tiene música (además de que danza lentamente). Yo no puedo escuchar el vibrato de cada minúscula partícula, pero si tuviéramos oídos suficientemente sutiles podríamos oír el humo...

    Aquí el amigo Dolmancé tiene algo que decir sin duda.

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  4. Cuando afinás la guitarra buscás que cada cuerda alcance la tensión justa; que por supuesto depende del cuerpo y del material con que están hechas (nylon o metal).

    Cuando no tenés afinador y afinás en “modo relativo” más o menos agarrás de oído una nota y a partir de ahí afinas el resto en relación a ésta. Por ejemplo, la sexta cuerda por lo general debe ser un Mi, y la quinta un La. Si estás seguro de que la sexta está bien, presionás la cuerda contra el quinto traste y obtenés un La, con lo que podés afinar la quinta cuerda, y así hasta completar el encordado y salir a guitarrear sin pasar vergüenza.

    Justamente por lo que decís sobre los cuerpos, al desplazar el punto de apoyo, el La de la sexta cuerda en contacto con el quinto traste coincide con el La de la quinta cuerda sonando “al aire”. Hay un fenómeno muy loco, que supongo que es lo que describís como resonancia: Se da cuando una cuerda se acerca infinitesimalmente a la frecuencia de la otra. Si ambas coinciden, cuando tocás las dos al mismo tiempo se logra un sonido parejo y estable. Pero si una de las cuerdas todavía no alcanzó la frecuencia de la otra, se siente como una vibración, un temblor horrible que se conoce como disonancia. Son como dos frecuencias muy parecidas que se pelean entre sí. El oido percibe una vibración incómoda, que se acelera a medida que las frecuencias se acercan y desaparece completamente cuando las frecuencias alcanzan el punto de coincidencia. Es buenísimo. No termino de comprenderlo. La cuestion es que en la música todo esto puede aprovecharse para generar tensiones armónicas. Incluso en la música popular, si analilzás cualquier tema, pongamos un bolero, vas a ver cómo hay momentos de tensión armónica y momentos de resolución. Esa es la función del dominante. El dominante sería la nota más lejana a la que te da la tonalidad. Si el bolero está en La menor armónica (La menor sería la tonalidad, es decir, un grupito de notas seleccionadas que van bien, un club exclusivo con derecho de admisión al resto de las notas), la nota más lejana sería un Mi, que en la tonalidad es la quinta de LA.

    1. La menor
    2. Si disminuido
    3. Do mayor
    4. Re menor
    5. Mi mayor
    6. Fa mayor
    7. Sol mayor


    Entonces el Mi mayor sería el punto de tensión máxima. Generalmente anticipa el final del estribillo.

    Otra curiosidad que no comprendo del todo es el tema de las octavas. A mayor frecuencia, sonidos más agudos. El sistema occidental reconoce siete notas y cinco alteraciones. Es decir, un total de 12 notas distintas, que son como mojones en la ruta de las frecuencias. Lo que no termino de ver es qué respresentación tienen los ciclos. Porque si partís de un do grave y subís cromáticamente, en un punto vas a encontrar la octava del do, es decir otro do (o sea, la séptima –Si- mas uno: Do). Se completa un ciclo. Bueno, no entiendo qué representa físicamente un ciclo de frecuencias. Por qué un do grave es la misma nota que un do más agudo.

    La física no solo sirve para construir instrumentos, sino que también es una base para la teoría musical misma.

    Saludos.

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  5. Con respecto al “sonido del humo”, francamente me supera. Porque ahí entra un tema medio intermedio entre la física clásica y la moderna. Además el sonido viaja más lento que la luz, ¿nocierto? De chiquito vi a lo lejos en el campo a un tipo cortando ramas con un hacha. Los hachazos eran certeros y parejos, pero el sonido llegaba después, a destiempo. Hoy, de grande, no termino de comprender ese fenómeno. De hecho no se como imaginarme la “vibración” en términos físicos.

    Quedo a la espera de la respuesta de Seve. El tiró una pregunta: ¿podemos escuchar la forma de un tambor?

    Yo no se si fue retórica, pero espero la respuesta.

    Supongo que en teoría sí, pero no con oídos humanos.

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  6. Nada que ver, pero… se que opinan distinto en esto:

    http://ardesodoma.blogspot.com/2008/07/lagente.html

    Fijense la intervencion de Luk@s. Es un debate pendiente.

    ¿no quieren venir a tirarme ladrillazos gentilmente?

    Saludos cordiales.
    Tincho.

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  7. en realidad una mota de polvo también es un cuerpo. Que no podamos distinguirla se debe a la limitación de nuestros sentidos nomás, pero con el aumento suficiente veríamos que se trata de un cuerpo como cualquier otro.

    Lo que pasa es que la frase "la mota de polvo es una partícula" necesita mas precisiones. Debería decir "la mota de polvo es una partícula hasta la escala del milímetro". La decripción del movimiento de la mota de polvo por medio del modelo matemático que representa una partícula (que consta básicamente en las leyes del movimiento de un punto sin detalles) es válida mientras observemos solamente escalas mayores que el milímetro. Cualquier rotacion o vibración de la mota no será perceptible a dicha escala, y por lo tanto no contraría el experimento.

    A escalas más chicas en cambio, se comienzan a ver detalles, descubrimos que lo que nos parecía un punto tiene en realidad estructura. Entonces el modelo de la partícula deja de ser útil para escalas más pequeñas, y se hace necesario un modelo con más grados de libertad.

    Esto es genérico en la física y pasa en todos los sistemas conocidos: los modelos que describen un dado sistema lo hacen a una hasta una cierta escala. Por debajo de esa escala, el modelo debe ser reemplazado por un modelo más detallado que tenga en cuenta la nueva estructura que se observa a escalas más pequeñas.

    Por ejemplo decir que la materia está formada por 118 tipos diferentes de átomos que se mueven como partículas e interactúan del modo descripto por los libros de química es una descripción que se ajusta a la realidad hasta la escala de 0.0000000001 metros. Por debajo de esa escala, aparecen detalles antes invisibles y debemos cambiar el modelo por uno que tenga en cuenta esos detalles, por ejemplo el que decribe el atomo como un agregado de electrones, protones y neutrones. De nuevo este modelo será útil hasta una cierta escala debajo de la cual la estructura compleja de los protones y neutrones empieza a notarse y entonces el modelo debe ser reemplazado por otro que la tenga en cuenta.

    Esto no quiere decir que los modelos que tienen en cuenta escalas más pequeñas sean modelos más "verdaderos" que los que se contruyen a escala mayor. Es muy importante tener en cuenta que las observaciones en física tienen siempre una precisión finita. Cuando esa precisión no es suficiente para distiguir por debajo del milimetro, entonces la mota de polvo es una partícula, porque con esa precisión ningún experimento nos dirá otra cosa. Entender esto es fundamental para entender como funciona la descripción del universo que llamamos ciencia. Quienes no lo entienden, pretenden que en la no-percepción de los detalles de una mota de polvo hay una barrera infranqueable para su conocimiento. Y eso no es así, los modelos se construyen para describir situaciones experimentales con una dada precisión, ajustada a nuestros sentidos (o a su versión mejorada que son los aparatos de medida).

    Dicho de otro modo la falibiliad de los sentidos forma parte de la ciencia, es un elemento considerado en su construcción, y no es de ningun modo una limitación descubierta por algún crítico sagaz, como mucha gente parece creer.

    Concluyendo: el humo de tu cigarro, a la escala que lo observas, es un fluído, y su movimiento es perfectamente descriptible por las leyes de movimiento de los fluidos. Claro que si lo queŕes mirar a escalas mas pequeñas (con una lupa, digamos) vas a ver el movimiento mas en detalle y entonces descubriras discrepancias entre lo que esperas para un fluído y lo que realmente pasa. Pero esto es algo que sucede con cualquier fluído: si miro el agua con suficiente detalle, tampoco veré un fluido sino un conjunto de moléculas que se mueven como partículas. Si las miro aún con más detalles estas moléculas no son partículas sino cuerpos. Que si los miros con mas detalle aún, están fomrados por partículas más pequeñas. Y así. Pero entonces un podría preguntar ¿que es realmente el agua?, pregunta que se responde con otra pregunta ¿a qué escala te referís?

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  8. Hay un fenómeno muy loco, que supongo que es lo que describís como resonancia: Se da cuando una cuerda se acerca infinitesimalmente a la frecuencia de la otra. Si ambas coinciden, cuando tocás las dos al mismo tiempo se logra un sonido parejo y estable. Pero si una de las cuerdas todavía no alcanzó la frecuencia de la otra, se siente como una vibración, un temblor horrible que se conoce como disonancia.

    No, ese no es el fenómeno de resonancia, sino el de batido. Sucede que vibraciones cuyas frecuencias (tonos) son muy similares, se superponen dando lugar a una vibracion cuya frecuencia es el promedio de ambas, pero cuya amplitud (volumen) oscila lentamente. Es decir que escuchas un tono promedio entre las dos cuerdas, pero con la rara propiedad de subir y bajar de volumen casi imperceptiblemente.

    El fenómeno de resonancia es el que sucede en el diapasón. Cuando la cuerda está afinada en el mismo tono que el previsto por el fabricante del diapasón, al pulsarla éste comienza a vibrar por sí solo, sin que nadie lo toque. En tu ejemplo: si la quinta y la sexta cuerdas están bién afinadas y presionas con precisión la sexta contra el quinto traste, al pulsarla debería sonar en el tono exacto que corresponde a la quinta y esta debería ponerse a vibrar sin pulsarla. Supongo que no debe ser fácil lograrlo en una guitarra, porque se debería ser muy preciso al presionar la sexta cuerda, pero ciertamente es posible.

    (fuera de tema, la resonancia entre la frecuencia propia y las de las ráfagas de viento fué lo que provocó la famosa caída del puente de Tacoma Narrows).

    Lo que no termino de ver es qué respresentación tienen los ciclos. Porque si partís de un do grave y subís cromáticamente, en un punto vas a encontrar la octava del do, es decir otro do (o sea, la séptima –Si- mas uno: Do). Se completa un ciclo. Bueno, no entiendo qué representa físicamente un ciclo de frecuencias. Por qué un do grave es la misma nota que un do más agudo.

    (la nomenclatura musical difiere de lo que uno estudia en un libro de ondas, pero creo que lo que preguntas tiene que ver con lo siguiente). Los objetos no vibran en una sola frecuencia, sino que tienen un conjunto de frecuencias posibles, su espectro. La mas grave de todas esas frecuencias se conoce como tono fundamental. Las otras, mas agudas, se conocen como excitaciones o armónicos.

    En el caso de una cuerda, la fecuencia fundamental es el tono que asocias a la cuerda. El primer armónico tiene una frecuencia que es exactamente el doble de la anterior. Los armónicos siguientes tienen frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Lo que vos llamas el Do grave es el tono fundamental de una dada cuerda, mientras que lo que llamas el Do agudo es su primer armónico. Es decir que su frecuencia es exactamente el doble del fundamental.

    Cuando pulsas una cuerda, la haces sonar en todos sus tonos, no solamente en el fundamental. Lo que pasa es que los armónicos, que son los tonos más agudos, suenan con una amplitud o volumen mucho más pequeña, por lo que son casi inaudibles. De hecho son ellos los responsables del timbre de la cuerda.

    Objetos diferentes tienen casi siempre espectros diferentes. Es decir que incluso cuando coinciden en su frecuencia fundamental, sus armónicos no coinciden. Cuando escuchamos un Do en piano y en un saxo, los distinguimos no porque el Do sea diferente, que no lo es, sino porque sus armónicos lo son. Sabemos que son objetos diferentes porque nuestro oido percibe la diferencia entre los primeros armónicos a travéz del timbre. En algún sentido limitado, estamos escuchando la forma del objeto.

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  9. ves? en comparación con elasticidad, este tema sí lo 'entiendo'. De hecho, el objetivo inicial de mi tesis era si se podían escuchar las constantes en los modelos que aproximan las ecuaciones de la elasticidad. Algunos comentarios sueltos:

    Se puede afinar una guitarra usando resonancias, tocando en el 5to traste de la de arriba (salvo en la 3ra cuerda), al pulsar una cuerda la otra vibra sola.

    Con el Tacoma, aparentemente no es la resonancia (si ves la película de como se cayó, fijate las oscilaciones que ocurren transversales a la dirección del puente, esas requieren muchísima energía). Aparentemente, sería una combinación de múltiples efectos, y la no-linealidad de la cosa juega un papel importante también.

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  10. A juzgar por el video, las del Tacoma parecen oscilaciones de torsión (las que retuercen el puente a lo largo).

    Había leído en algún lado que estas oscilaciones se amplificaron por resonancia entre su frecuencia natural y la de las corrientes de aire sobre el río. Aunque se me hace dificil imaginar por que razón dichas corrientes tendrían alguna frecuencia definida, por lo que comparto tu escepticisimo...

    Una vez amplificadas lo bastante, obviamente la no linealidad empieza a dominar, y termina siendo la responsable de la rotura del puente (y pensandolo un poco, tampoco parece tener mucho sentido hablar de resonancia en el regimen no lineal).

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  11. Obviedad y lugar común: escribí doscientas veces un comment aquí y por diversos motivos no se publicó.

    descarto todo el resto pero retomo lo esencial.

    Si podemos oir la forma de un tambor. _No se, supongo que en teoría sí, pero no con oídos humanos. Los sentidos son limitados. Además, ¿cómo podemos percibir la forma? Viéndola, tocándola, analizando la descripción 3D, los componentes, etc. Ni la definición misma de forma es perfectamente asible a los sentidos. Igual supongo que tu pregunta no fue retórica y espero la respuesta.

    Con respecto a lo que te preguntaba de los ciclos... no, no me refería a los armónicos. De todas maneras pensar en los aspectos físicos de la música (cosa que nunca tuve oportunidad de hacer en mi formación musical) me hizo darme cuenta de algo que para mí fue un hit.

    En definitiva yo sabía la respuesta... las notas se traducen en frecuencias, en Hertz, en ciclos por segundos. A mayor frecuencia, notas más agudas. Listo. fin de la respuesta. NO HAY CICLOS.

    Lo que pasa es que (lo averigüé después) la diferencia entre un La y el siguiente La más agudo es... el doble de frecuencia!!! Tomás el la que es el patrón de afinación (440Hz), si tocás el próximo La del piano tenés 880Hz, si tocás el La anterior tenés 220Hz.

    Claro, toda la música occidental está pensada así, en términos relativos. Cada vez que duplicaste la frecuencia obtuviste una "octava más arriba", la nota se vuelve a llamar de la misma manera, sólo que en su versión "duplicada"

    Te parecerá una boludez, pero yo no podía abandonar la noción de que había algo "absoluto" en el La, que hacía que entre un La y otro hubiera un "ciclo".

    Y claro que no. Nuestros oidos están culturalmente adaptados a tomar las construcciones armónicas como múltiplos de 2. Si ya se es una obviedad, pero para mí es una revelación.

    Saludos

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  12. Me gusta mucho lo que planteo Dolmance, bah, no se si lo entendi pero parece plantear una objecion al idealismo platonico.

    Es decir: no hay un "La absoluto", se trata de una mera convencion: al duplicar la frecuencia se obtiene otra nota que nada tiene que ver con la anterior, se trata de una convencion basada en una cuestion matematica, podriamos nombrar las notas en ciclos de triplos o cuadruplos, o sin ciclos: una sucesion infinita de nombres, etc.

    Es el problema de las palabras, son abstracciones, pero como no tenemos otra cosa para comunicarnos solemos confundirlas con el mundo real, que existe por si mismo y no sabe nada de nuestras clasificaciones.

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  13. Vamos de nuevo: no se si hay un La absoluto o no (en lo que respecta a la música, no paso de distinguir, a veces, la buena de la mala). Pero ciertamente hay algo muy físico en los ciclos, muy real: los tonos que tienen el mismo nombre en cada ciclo configuran el espectro de una cuerda tensa.

    Una cuerda tensa vibra en su tono fundamental, que es el que escuchamos cuando la pulsamos, y en sus tonos exitados, que tambien suenan cuando la pulsamos pero en un volumen mucho mas bajo, y que sólo percibimos como parte del timbre del sonido. Los tonos excitados tienen frecuencias f que son múltiplos de la frecuencia f0 del tono fundamental:

    f = n f0

    donde n es un número entero. Por lo tanto el tono fundamental tiene frecuencia f0. El primer tono excitado tiene una frecuencia f = 2 f0 que es el doble de la fundamental (el segundo será f = 3 f0 y asi...). Por lo tanto, si convenimos en llamar "la" al tono fundamental, el primer tono excitado, será el "la" del siguiente ciclo.

    Es decir que los músicos llaman "ciclos" son en realidad reflejo de algo que existe en el mundo exterior y que nuestro oído es capaz de percibir parcialmente: el espectro, o en particular la realcion entre el tono fundamental y el primero excitado.

    Podríamos decir que hemos aprendido culturalmente a percibir el espectro, pero yo no lo creo. Tenemos oídos desde cuando todavía teníamos aletas, y aún nada parecido a una cultura. En esa época nos resultaba cuestión de vida o muerte el ser capaces de percibir los detalles de cualquier sonido. Posteriormente nuestra evolución como primates se centró en el componente visual de la percepción del mundo, y reservó para fines culturales otros sentidos, como el oído y el olfato. Pero nuestros sentidos siguen siendo sensibles a los detalles del sonido que nuestra vida diaria ya no require. Por eso la capacidad del oído de percibir detalles del espectro de un objeto es sólo conocida por los músicos, que la llaman ciclos.

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  14. En otras palabras: es convencional a qué sonido llamamos "Do" y hacemos el primero de un ciclo. El ciclo podría comenzar en el La o el Si. También es convencional que haya siete tonos por ciclo, podría haber diez o cuatro. Lo que no es convencional, sino que es un reflejo de la física subyacente en la emisión del sonido, es el hecho de que el siguiente ciclo comience en una frecuencia exactamente el doble de la anterior, no podría ser de otro modo, ya que es consecuencia de la existencia de un espectro.

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  15. Me parece muy interesante el artículo. Sólo me gustaría hacer un par de críticas y aportaciones.

    En principio hago un par de definiciones algo arbitrarias, que sólo servirán para los razonamientos subsiguientes.
    1-Llamemos sonido solamente al expectro sonoro audible por una persona, o sea la interacción de ondas acústicas con nuestro cerebro, oído mediante, lo que tengo entendido que se denomina qualia.
    2-Llamemos música solamente al lenguaje -no en un sentido semiótico por supuesto, pues la música no significa nada- creado por el hombre basado en el sonido, que se funda en el reconocimiento de un intervalo entre dos sonidos, reconocimiento a partir del cual se puede construir melodías (sucesión de notas) y armonías (superposición de notas) -no me olvido del ritmo, pero creo que no viene al caso-.

    De las definiciones anteriores se desprende que:
    -sólo hay sonido si hay alguien que lo escucha, si no sólo es aire en movimiento;
    -y que sólo hay música si los sonidos en cuestión forman un lenguaje, es decir que forman un discurso de cierta coherencia estética, y por lo tanto humana, aunque siempre convencional. Así, si alguien aporrea un piano al azar, no lo llamamos música, como tampoco llamaríamos música a una partitura sin una persona que la pueda interpretar y hacer sonar, ya que serían sólo garabatos en un papel.

    Por lo tanto no estaría de acuerdo en que “cada uno de los objetos que componen nuestra experiencia cotidiana no son sino sofisticados instrumentos musicales” más que en sentido poético o literario, pues de los razonamientos antedichos no habría música si ésta no se puede escuchar, y tampoco habría música si no fuera un discurso sonoro mínimamente complejo hecho por y para el hombre.

    Tampoco veo claro como “Sin ciencia no hubiera habido una Hiroshima, pero tampoco hubiera existido un Mozart”. En principio la música como arte es pre-ciéntifica, pues para desarrollarse no necesita ningún concepto ni técnica ni estudio científicos. Es más, si alguien quiere ser músico o disfrutar la música, no tiene que estudiar ni matemática, ni física ni neurociencia. Solamente debe desarrollar las facultades psicomotrices (p.e.: aprender a tocar un instrumento o afinar su oído) y las facultades estético-culturales pertinentes (p.e.: escuchar y analizar músicas), y, aunque no es necesario, el estudio de las teorías musicales (que tienen que ver con el lenguaje musical, no con el sonido en sí).
    Además especulo (que no lo sé a ciencia cierta), que la elaboración de instrumentos complejos como el piano, estaban a cargo –por lo menos en la época de Mozart- de artesanos que aplicaban técnicas basadas en la práctica y la costumbre, y no en ciencia ni método científico –a pesar de pitágoras et al.-.
    Creo además, que la música nació –y todavía se puede practicar- sin la ayuda de instrumentos artefácticos, es decir sólo la voz y percusión, y ésta no necesita verdaderos instrumentos.
    Piénsese p.e. en un coro. Un músico no necesita ningún instrumento más allá de su cerebro para componer una obra coral, y de la misma forma ésta puede ser ejecutada sin necesidad de instrumento alguno. Y no hay nada remotamente cietífico o matemático –valga la diferencia- en ésto.

    En resumen, hago una diferencia entre la práctica y el estudio de la música en sí, y el estudio científico de los fenómenos concernientes a la música, ya sean el sonido o la neuro-psicología de la persona involucrada en algún hecho musical, o aún el estudio historiográfico y sociológico de la susodicha.

    ***
    En música es importante dada una sola nota, sin importar su frecuencia, poder reconocer o elaborar un escala, que se construye “sumando” intervalos. Por ejemplo, dado un La, un músico -en realidad cualquier persona con oído musical- puede cantar un Si, pues reconoce el intervalo que se denomina tono entre un La y un Si, y el intervalo que se llama semitono entre un Si y un Do, y así sucesivamente con las siguientes notas, conformando de esta forma un escala.
    Por lo cual la afirmación “Afinar un violin (o cualquier otro instrumento musical) consiste en ajustar el espectro de sus cuerdas con el de su caja, de modo tal que que la resonancia se produzca”, es algo equívoca, pues el sentido vulgar y práctico de afinación de un instrumento es el de la relación interválica entre sus cuerdas, y no el de (alguna de) éstas con su caja. Si tomamos p.e. una guitarra y “desafinamos” arbitrariamente una cuerda, para volver a tener una guitarra afinada sólo debemos hacer corresponder las demás cuerdas con el intervalo que corresponde respecto de la cuerda “desafinada”, sin importar el grado de desafinación de la cuerda primigenia.


    La gran mayoría de las personas, ya sean músicos o no, no tienen la capacidad para emparejar una nota que escucha con una frecuencia específica, si no que solamente reconoce los intervalos entre dos (o más) notas dadas. Es decir que no pueden distinguir la frecuencia de un sonido cualquiera.
    No obstante existe la convención de llamar La (fundamental) a un sonido con frecuencia de 440 Hz, que es el que dan los diapasones (por no hablar de artilugios electrónicos), a partir del cual se afinan los instrumentos universalmente.
    Supuestamente, aquellas –pocas- personas que poseen el llamado “oído absoluto” sí pueden reconocer la frecuencia de un sonido, o sea que escuchando un sólo sonido dicen “ése es un La”=”la frecuencia de ese sonido es 440 Hz” (conozco algunas). Y personas con mucho –pero mucho- entrenamiento pueden llegar a algo parecido al “oído absoluto”. Pero no me pidan más explicaciones, que sólo lo sé como hecho objetivo.

    Espero haber sido claro en lo que quería expresar, aunque no he dicho todo. Críticas y observaciones bienvenidas.

    Guille

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  16. Guille:

    Gracias por tu comment, que tiene algunas virtudes poco comunes, como por ejemplo definir antes que nada el uso que le darás a las palabras, lo que me permite inmediatamente decir que:

    1-Yo llamaría "sonido" a lo que vos llamás "ondas acústicas", pero no viene al caso discutir al nomenclatura, asi que acepto tu definición a los fines de esta discusión

    2- Comparto plenamente la definción de música.

    En consecuencia, tu afirmación:

    Por lo tanto no estaría de acuerdo en que “cada uno de los objetos que componen nuestra experiencia cotidiana no son sino sofisticados instrumentos musicales” más que en sentido poético o literario

    es completamente acertada, solo pretendía ser una metáfora para contener la expresión algo más complicada de que "cada uno de los objetos que componen nuestra experiencia cotidiana poseen un espectro de vibración que se puede clasificar de un modo análogo al de los instrumentos musicales".

    Por otro lado, en cuanto a que

    Tampoco veo claro como “Sin ciencia no hubiera habido una Hiroshima, pero tampoco hubiera existido un Mozart”. En principio la música como arte es pre-ciéntifica, pues para desarrollarse no necesita ningún concepto ni técnica ni estudio científicos.

    En el sentido al que vos te referís, las armas también son pre-científicas, tanto como los instrumentos musicales. Sólo que su desarrollo se potencia cuando sistematizamos las reglas empíricas que aprendimos en el día a día. No creo que el cro-magnon que buscaba un palo duro y largo para hacer una lanza hiciera algo esencialemente diferente de su compañero que buscaba un tronco hueco para hacer un tambor. El primero aprendió que si el palo no estaba bien balanceado, la lanza no mataba al ciervo, mientras que el segundo aprendió que si el tronco no era hueco y seco no emitia sonidos agradables. Lo que ellos hicieron fué sistematizar reglas empíricas, aprender probando, es decir, hicieron ciencia. El primero, al arrojar la lanza, aprendió los lienamientos esenciales de la mecánica de un cuerpo rígido, el segundo, en cambio, aprendió los detalles empíricos de las soluciones de la ecuación de Laplace. Por supuesto que ellos no sabían nada del formalismo con el que la mecánica analítica describe los cuerpos rígidos, ni tenían la mas remota idea de lo que podía ser la ecuación de Laplace, pero ambos hicieron el trabajo básico de aprehencion de las reglas empíricas, sin el cual ni dicho formalismo ni la ecuación de Laplace existirían. Más aún, el desarrollo ulterior de sus investigaciones llevaría naturalemente, siglos mediante, a la Mecánica del Cuerpo Rígido o a la Ecuación Laplaciana de un sólido vibrante.

    Además especulo (que no lo sé a ciencia cierta), que la elaboración de instrumentos complejos como el piano, estaban a cargo –por lo menos en la época de Mozart- de artesanos que aplicaban técnicas basadas en la práctica y la costumbre, y no en ciencia ni método científico –a pesar de pitágoras et al.-

    Esas reglas son las precursoras del método científico. "Lo hagó asi y suena bien, lo hago asá y suena mal, luego hay algo que no entiendo que diferencia *asi* de *asá* " es la regla básica del pensamiento racional aplicado a la comprensión del universo.

    En resumen, hago una diferencia entre la práctica y el estudio de la música en sí, y el estudio científico de los fenómenos concernientes a la música, ya sean el sonido o la neuro-psicología de la persona involucrada en algún hecho musical, o aún el estudio historiográfico y sociológico de la susodicha.

    Hay una diferencia clara entre la música como parte del lenguaje artístico, que es esencialmente diferente del científico, y las técnicas utilizadas en la construcción de instrumentos musicales, que son técnicas ciertamente científicas, en el sentido de estar basadas en reglas obtenidas por la observación empírica de la realidad. Mi post se refería a las segundas.

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    Por lo cual la afirmación “Afinar un violin (o cualquier otro instrumento musical) consiste en ajustar el espectro de sus cuerdas con el de su caja, de modo tal que que la resonancia se produzca”, es algo equívoca, pues el sentido vulgar y práctico de afinación de un instrumento es el de la relación interválica entre sus cuerdas, y no el de (alguna de) éstas con su caja.

    Si, leí algo más después del post, y tenes tazón en que la afirmación que hice no es exacta (de hecho está equivocada). Como vos decis, la afinación se hace ajustando las diferencias de frecuencia entre los tonos fundamentales de cada una de las cuerdas. La caja de resonancia debe estar construída de modo de resonar con cada uno de esos tonos. Es decir que el espectro de la caja debe incluir cada uno de los tonos fundamentales y excitados de las cuerdas. Entiendo que un violin bién construído cumple esta propiead, es decir que un La resuena tan bién como un Mi o como un Sol.

    Saludos

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  17. Seve,

    Tomando como primer armónico la nota fundamental, el segundo armónico de un determinado sonido es como decís el f = 2 f0, y tiene una amplitud mayor al tercero f = 3 f0, y así sucesivamente. La amplitud de estos armónicos conforma el timbre del sonido, y hace que lo distingamos de otros, ya sea una trompeta de un violín, o una voz de otra. Cada nota tiene su espectro armónico. Aún las infinitas notas que no están dentro de las 12 notas de las escalas occidentales. Aún las notas que produce el ruido de una piedra golpeando contra otra, o las que produce el primer instrumento musical: la voz humana.

    Pero los músicos no llaman "ciclos" a eso. "Ciclos" en música pueden ser relaciones entre escalas, ciclos de quintas, de cuartas, etc.

    Yo hablé de ciclos refiriéndome a la diferencia entre un La a 220 Hz (cuyo segundo armónico es 440 Hz) y el siguiente La a 440 Hz (cuyo segundo armónico es 880 Hz). ¿Tenés un piano cerca? ¿Viste que las teclas negras van en grupitos de 2 y de 3? La tecla blanca inmediatamente anterior a un grupito de 2 teclas negras es un Do. Entre un Do y el siguiente hay una octava. A eso llamé –provisoriamente- ciclo. Toda la música occidental parte de ahí. Entre el La a 220 Hz y el La a 440 Hz hay una octava. Es decir, siete grados y cinco alteraciones.

    Entonces a priori hay dos convenciones:

    Primero, que entre un La y el siguiente haya 12 notas. Por supuesto, podrían ser 30, o 5, pero hay 12. Esto no es lo que me sorprende. Sin ir más lejos la música hindú no parte de la misma convención.

    Segundo, que entre un La y el siguiente haya el doble de frecuencia. Está bien, es algo que de alguna manera "suena naturalmente". Como decías, el primer armónico es quel que más se escucha. Pero el hecho de que entre un La y el siguiente haya el doble de frecuencia y no el triple o el cuáduple es lo que me sorprende. ¿Por qué no el triple? ¿Cómo sonaría la música si así fuera, si un La fuera a 220 Hz y el siguiente a 660 Hz? En lugar de lo que hoy conocemos como “octava”, tendríamos una “quinta”. Y entre la nota fundamental y su quinta, podríamos nuevamente tener 2, 5, 8, 20 notas intermedias (cada notita, con su propio espectro de armónicos). Claro, ya no se llamaría “quinta”. Pero eso no importa, lo que me resulta arbitrario es que se haya optado por el doble de frecuencia como criterio para dividir el registro musical en “ciclos”. Imaginate que se hubiera optado por el tercer armónico, y que asimismo se haya dividido el “ciclo” en 12 notas. Los intervalos entre las notas (las relaciones entre tonos y semitonos) serían mayores. Sonaría realmente como una bola de ruido. La tonalidad, como la conocemos, se iría al carajo. Simplemente porque nuestros oídos están culturalmente adaptados a que entre una octava y la siguiente haya el doble de frecuencia. En la música, el concepto mismo de tonalidad, de función armónica, está pensado en relación a esto. La habilidad de reconocer intervalos relativos de la que habla Guille también está determinada por esto.

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  18. Veo ahora que incurri en un abuso de lenguaje que puede llevar a confusión:

    - Dolmancé, como músico, llama "nota" a un sonido compuesto por un tono fundamental y una serie de armónicos que constituyen el timbre. Lo cual es natural para un músico porque la música está compuesta por tales notas, tal cual salen de un instrumento musical. Él dice "La" o "Do" y está pensando en la frecuencia fundamental y los armónicos de dicha frecuencia sonando a la vez, dando tono y timbre al sonido.

    - Yo, como físico, si usé la palabra "nota" lo hice en el sentido de un "tono puro", un sonido de una dada frecuencia, sin armónicos, que es el que se le dá en los libros de física. Digo "Do" o "La" y estoy pensando en un tono puro cuya frecuencia es la frecuencia fundamental de esa nota, sin sus armónicos sonando a la vez. En adelante usaré "tono puro" en lugar de "nota" para ser preciso y evitar confusión.

    El punto es que los armónicos no existen sólo como componentes del timbre de una nota, sino que dado un tono puro de una dada frecuencia, otro tono puro con el doble de esa frecuencia es su primer armónico. Es decir "armónico" es el nombre que le damos a un tono puro cuya frecuencia es múltiplo de la del tono puro fundamental de un dado objeto. En otras palabras, con un sintetizador puedo hacer sonar un tono puro de una dada frecuencia y luego, independientemente, puedo hacer sonar su primer armónico.

    Ahora bién, cuando el oído escucha una nota que sale de un instrumento, percibe el tono fundamental que la compone y el primer armónico que suena junto con él. Al escuchar otra nota cuyo tono fundamental tiene la misma frecuencia que el primer armónico de la nota anterior, es natural que identifique cierta similitud entre ambas. Por eso decia que la identificación de esta segunda nota como el ciclo siguiente a la primera tiene un sustento que no me parece meramente convencional: es el oído quien percibe algo alli. ¿No suena muy razonable?

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  19. ¿No suena muy razonable?

    Por supuesto, y también me voy a dormir tranquilo con eso. Pero lo que digo es: ¿por qué no tres? ¿Por qué no tomar el tercer armónico, una quinta por encima del tono fundamental? Toco un Do en un piano, su tercer armónico es un Sol (la quinta de Do), pero de la siguiente octava. Luego toco ese Sol de la siguiente octava y su nota fundamental coincide con el tercer armónico del Do que toqué primero. Tranquilamente se podría construir una nueva teoría musical partiendo del supuesto de que lo que hoy conocemos como Do y lo que hoy conocemos como Sol sean la misma nota, solo que ésta última en versión más aguda que la primera. Luego la quinta de este Sol sería un Re. Es decir que Do, Sol y Re serían la misma nota en esta nueva música. Entre el Do y el Sol habría -por qué no- también 12 notas. Lo mismo entre el Sol y el Re. Resta hacer cuentas y ver qué función armónica cumple el segundo armónico en esta nueva concepción. Lo que te puedo asegurar es que ni bien escuches alguna composición de este tipo inmediatamente vas a querer golpear al músico con tu libro de física más pesado.

    ¿ves el componente de "arbitrariedad"?

    Además, leí que los elementos de la serie de Fourier no representan exactamente la serie de armónicos natural. ¿es así? Y... ¿la ecuación de Laplace determina exactamente el espectro de un cuerpo?

    Otra "excepción": La frecuencia del séptimo armónico no corresponde a ninguna de las 12 notas del sistema occidental (es más grave que la tercera menor y más agudo que la segunda mayor).

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  20. Lo que te puedo asegurar es que ni bien escuches alguna composición de este tipo inmediatamente vas a querer golpear al músico con tu libro de física más pesado.

    je, ya he querido hacerlo... ¿te acordás cuando a Guillermo Vilas se le dio por cantar? o también ¿escuchaste cantar al hijo de Spinetta?

    Además, leí que los elementos de la serie de Fourier no representan exactamente la serie de armónicos natural. ¿es así? Y... ¿la ecuación de Laplace determina exactamente el espectro de un cuerpo?

    Las soluciones de la ecuación de laplace de un dado cuerpo representan los diferentes modos de oscilación de ese cuerpo. Esto es exacto siempre que las oscilaciones sean pequeñas, para oscilaciones muy grandes las no-linealidades empiezan a jugar un rol y la ecuación de laplace debe ser substituída por la correspondiente ecuación no-lineal. Eso es lo que pasa en los parlantes cuando "saturan".

    Pero lo que vos leíste es otra cuestion: el espectro de una cuerda infinitesimalmente fina y perfectamente homogénea está dado por la solución de la ecuación de Laplace correspondiente a ese objeto. Sus tonos son múltiplos de un tono fundamental f = n f0. Pero una cuerda realista no es infitamente fina sino que tiene un cierto grosor, y además muy probablemente no sea homogénea. Entonces tendríamos que resolver la ecuación de Laplace para un cilindro macizo largo y no-homogéneo. Esta tarea es posible pero complicada y de hecho no muy útil. Sus soluciones cumplirían la relación de arriba f = n f0 sólo aproximadamente, y esa arpoximación será mejor cuanto más fina y homogénea sea la cuerda.

    Por eso la serie de Fourier f = n f0 es sólo una aproximación de los tonos reales. Si quiesiéramos la ecuación de Laplace podría darnos el espectro exacto de las pequeñas oscilaciones de un cuerpo, pero al resolverla deberíamos especificar con precisión la forma de dicho cuerpo. A veces es mejor usar una forma "aproximada" del cuerpo, para al meterla en la ecuación de Laplace obtener un espectro aproximado.

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  21. Si podemos oir la forma de un tambor. _No se, supongo que en teoría sí, pero no con oídos humanos. Los sentidos son limitados. Además, ¿cómo podemos percibir la forma? Viéndola, tocándola, analizando la descripción 3D, los componentes, etc. Ni la definición misma de forma es perfectamente asible a los sentidos. Igual supongo que tu pregunta no fue retórica y espero la respuesta.

    Mi pregunta fué la traducción de el título de un paper famoso de un matemático ídem. El paper es "Can one hear the shape of a drum" y el autor es Mark Kac. La pregunta no es retórica sino una pregunta que desde el punto de vista matemático es extremadamente interesante: sabemos que dada la forma de un objeto, podemos resolver la ecuación de Laplace para determinar su espectro. Ahora bien ¿podemos ir en sentido inverso? Es decir, si conozco el espectro completo de un objeto ¿existe alguna ecuación que me permita saber cuál es su forma?

    Por ejemplo, una cuerda tiene un espectro f = n f0. ¿Cualquier otro objeto que tenga ese espectro, será necesariamente una cuerda?

    La respuesta es que no. Hay objetos diferentes que tienen en mismo espectro (en el artículo de Wikipedia linkeado en el post hay ejemplos). Es decir que ado el espectro, no puedo saber con exactitud de qué cuerpo proviene. Esto, al menos a mí, me resulta bastante anti-intuitivo.

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  22. Supongo que esto es porque se trata de una función no biunívoca ¿no? Me refiero a que una forma da solo un espectro, pero un espectro puede corresponder a varias formas.

    Respecto de lo que dice Dolmancé, entiendo que los antiguos hindúes tenían una escala totalmente diferente y mucho más numerosa que la occidental de siete notas.

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  23. Supongo que esto es porque se trata de una función no biunívoca ¿no? Me refiero a que una forma da solo un espectro, pero un espectro puede corresponder a varias formas.

    Si, es no biunivoca (o no biyectiva o no invertible, para decir la misma gilada en palabras mas complicadas y asustar giles).

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  24. Permiso, permítanme sumarme una vez más.

    Jack Celliers dijo:

    Respecto de lo que dice Dolmancé, entiendo que los antiguos hindúes tenían una escala totalmente diferente y mucho más numerosa que la occidental de siete notas.

    Un profesor que tuve, contaba que un antiguo griego (no me acuerdo cual) podía reconocer, o se envanecía de reconocer ¡60 diferentes notas dentro de lo que llamamos ahora un tono! O sea, es como si en un piano se puedan reconocer ¡60 notas entre dos teclas blancas contiguas (excepto SiDo y MiFa)!

    Lo que me lleva a lo que quería aportar, más allá de la veracidad de la anécdota anterior. En realidad, reconocemos más de 12 notas –que es la cantidad, como dice Dolmancé, y no siete- entre una nota y su octava.
    En los instrumentos como la guitarra y el piano, cada nota es concreta, es decir que el registro es discontinuo pues no se pueden variar las notas infinitesimalmente (es cierto que en una guitarra se pueden hacer bends, o sea estiradas de cuerda, pero no es algo muy cómodo si son más de dos cuerdas, y casi no se pueden hacer sin la referencia de la cuerda sin estirar).
    Pero en instrumentos como los violines y la voz humana, el registro es continuo –el violín no tiene trastes-, por lo que se puede variar una nota cualquiera infinitesimalmente.
    Y aquí entran las notas “extras” a las que aludía.
    Entre, por ejemplo, un Do y un Re, hay dos notas reconocibles: Do#(sostenido) y Reb(bemol), siendo un Do# más agudo que un Reb. En un piano tal diferencia no existe, pues entre un Do y un Re hay una sola tecla, pero en violín y en la voz humana, tal diferencia de notas es posible (y preferible). Por supuesto, tal diferencia es casi imperceptible, aunque, por lo menos para la voz, puede ser hecha intuitivamente.

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  25. Guille: Claro, siempre y cuando asumamos que el piano está bien afinado!!!

    Este intercambio ha sido muy placentero.
    Saludos a todos

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  26. Luego de leer un poco por encima todos los comentarios -y la nota-, me sorprende que nadie halla hecho mención al sistema temperado. Se trata del sistema de 'igualamiento' artificial de los 12 semitonos que hay entre una octava y otra. El estudio de la división de la cuerda para encontrar los armónicos naturales (pitágoras o aristógenes), fue desde siempre una prueba de la imposibilidad de desarrolar un sistema artificial que iguale al 'natural'. Por eso se necesitan sistemas que igualen lo que se denomina 'coma pitagórica'. El temperado consiste en dividir esa coma a lo largo de las 7 octavas del piano y fue desarrollado básicamente para la fabricación mismo. Por eso un oido adiestrado no soporta el piano, a pesar de la demostración empírica que hace Bach con su 'clave bien temperado'. Los baches s eescuchan claramente (del mismo modo que los baches del sonido de registro digital respecto del analógico y -por supuesto- del que se escucha diréctamente del instrumento.)
    Ahora bien: la complejidad de la música previa a la universalización de tal sistema, sumada a las dificultades para la construcción de instrumentos musicales tan precisos como los de hace tres o cuatro siglos, ¿no nos habla de las dificutades que tendría la ciencia moderna para el desarrollo de estudios de ese tipo? O sea, la sistematización deja de lado cosas que podrían ser escenciales.

    saludos
    R

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