Sobre epidemias zombis y de fiebre amarilla

Para mi clase de Física y Medicina, hable de dinámica de epidemias. Dí como ejemplo la epidemia de fiebre amarilla que azota la Argentina desde diciembre de 2015.

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Modelo

Imaginemos un modelo de la población en el que hay tres clases de ciudadanos:

C - Los ciudadanos comprometidos

M - Los bobos macristas

A - La gilada cínica y apolítica

Estos tres tipos de ciudadanos interactúan entre sí diariamente, y esa interacción causa cambios en sus actitudes.

Cada día, cada uno de los ciudadanos comprometidos se encuentra con cada uno de los macristas, en un total de CM encuentros. Una proporción p de tales encuentros termina con el ciudadano comprometido con la cabeza lavada y transformado en un macrista. Lo que nos da un total de pCM comprometidos menos al día.

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Pero también, una proporción q de esos encuentros termina con el macrista transformado en apolítico (no soñemos, tampoco podría volverse un ciudadano comprometido). O sea que por día hay pCM macristas más, y qCM macristas menos.

En cuanto a los apolíticos, podría pasar que una proporción r de ellos se volviera macrista cada día al mirar la tele, o sea que habría que sumar rA macristas más. Y además con eso nos quedarían qCM apolíticos más y rA apolíticos menos, cada día.

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Entonces, si llamamos C', M' y A' a la cantidad nueva por día de comprometidos, macristas y apolíticos respectivamente, tenemos que

C' = -pCM

M'= pCM - qCM + rA 

A' = qCM - rA

Esas son las ecuaciones que controlan la dinámica de la epidemia. Y tienen consecuencias muy interesantes.

¿Cuáles son las situaciones estacionarias?

Una situación estacionaria sucede cuando la cantidad de ciudadanos de cada tipo no cambia con el tiempo. ¿Cuántos ciudadanos de cada tipo tiene que haber para que se produzca tal situación?

Hay que poner

C' = 0 = -pCM

M'= 0 = pCM - qCM + rA

A' = 0 = qCM - rA

Es decir, suponer que no se produce ningún cabio cada día. Ahora hay que resolver para C, M y A.

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Suponiendo que hay N ciudadanos en total, se obtienen dos posibilidades:

• O bien todos son comprometidos, o sea C=N, M=0, A=0. Llamemos a esta situación década ganada.
• O bien todos son macristas, o sea C=0, M=N, A=0. Llamemos a esta opción rebolución de la alegría.

¿Son estables estas situaciones?

Estabilidad significa que, ante una pequeña perturbación de la situación estacionaria, los números oscilan durante algún tiempo y luego vuelven a la situación estacionaria. Inestabilidad es cambio es cuando una pequeña perturbación crece sin límite y la situación estacionaria jamás se recupera.

Es decir, si durante la década ganada un ciudadano comprometido se golpea la cabeza y, perdiendo masa encefálica, se vuelve macrista ¿qué sucederá los días siguientes? ¿Habrá cada vez más macristas o el sistema volverá al equilibrio?

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O si en cambio en plena rebolución de la alegría un macrista se aviva por error y se vuelve un ciudadano comprometido ¿qué sucederá al día siguiente? ¿Habrá cada vez más ciudadanos comprometidos, o el incidente será rápidamente olvidado y volverá la rebolución?

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Les tengo malas noticias...

• La situación que llamamos década ganada es inestable, cualquier perturbación la desmadra.
• La situación que llamamos rebolución de la alegría es estable, cualquier alteración se atenúa hasta desaparecer.

Se puede demostrar usando las ecuaciones...

¿Vamolón?

Para evitar suicidios masivos de lectores, aclaremos lo obvio:

Estamos discutiendo un modelo matemático de juguete, el cual no tiene en cuenta una gran cantidad de factores importantes, que podrían alterar el carácter trágico de sus resultados.

A no desesperar.

Este tipo de modelos de propagación de epidemias son útiles en las regiones densamente pobladas, donde podemos considerar interacciones diarias entre cada par de sujetos. Están basados en los modelos predador-presa que sirven para modelar dinámicas ecológicas

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Un modelo aplicable en regiones menos densas debería considerar el carácter local de las interacciones: cada macrista habla sólo con sus vecinos cada día. Ese tipo de modelos se parece más al incendio de un bosque, y se conocen como forest-fire.

En cualquier caso, y más allá de lo alarmante de la conclusión, el de más arriba es un ejemplo lindo de matemática aplicada, que sirve para epidemias, ecología y sistemas sociales.

Lo saqué de acá, lo recomiendo (eran zombis, no macristas, pero da igual)