Macánica Chántica IV: el efecto túnel y la muerte cuántica del general Lavalle.

Volviendo a la ya lejanísima serie de posts sobre mecánica cuántica (para los desme- moriados y nuevos visitantes, me refiero a éstos), sigamos con el intento de desmitificar un poco ese abrevadero de chantas en que se ha convertido uno de los descubrimientos más fascinantes del siglo XX.

Recordemos* que, a diferencia de su antecesora histórica la mecánica clásica, la mecánica cuántica no predice el comportamiento de un dado sistema físico, sino que sus predicciones se refieren a un conjunto de sistemas idénticamente preparados. Por ejemplo si conocemos la posición y velocidad de un perdigón en el momento en que abandona el caño de un fusil federal, podemos usar las reglas de la mecánica clásica para saber si un segundo después ese perdigón hará blanco en el pecho del general Lavalle, refugiado en un zaguán de una casa jujeña. Pero en cambio si nos disponemos a usar las reglas de la mecánica cuántica, nada podremos decir sobre ese perdigón en particular, y sólo podremos hacer predicciones si preparamos un batallón completo de gorros frigios situados en el mismo lugar y disparando perdigones idénticos, con fusiles indistinguibles y apuntados exactamente en la misma dirección. En ese caso, la mecánica cuántica nos permite saber la probabilidad exacta de que algún perdigón acierte en el segundo botón de la pechera, o de que algún otro golpee en su bota derecha. Ahora bien ¿Cómo funciona esto exactamente?

Usando su velocidad, su dirección, y la posición de su punto de partida, la mecánica clásica permite hacer predicciones sobre el futuro del perdigón desde el instante en que éste abandona el fusil. Mediante las leyes del movimiento de Newton, nos permite trazar una línea señalando cada uno de los puntos que atraviesa el perdigón en su camino desde el fusil hasta su blanco. Esa línea es lo que llamamos la trayectoria del perdigón. Si hemos de creer en el mito histórico, tres proyectiles se dispararon desde un fusil federal, dos de los cuales se incrustaron en la pared y en la puerta detrás de la cual se ocultaba el fugitivo, y el tercero lo mató luego de atravesar la cerradura. Aunque ciertamente poco convincente, esa es una eventualidad permitida por las leyes de la mecánica clásica: si bien es imposible que una bala lograra matar al general sin perforar la puerta, es cierto que un fusil adecuadamente apuntado por un soldado hábil (o afortunado) podría haberle permitido atravesar la cerradura.

Ahora bien, si nos propusiéramos usar las leyes de la mecánica cuántica para describir el evento, deberíamos trazar con un lápiz imaginario todas las trayectorias que unen la punta del fusil federal con digamos el segundo botón en el pecho del general. Esto incluye a las trayectorias que serían posibles de acuerdo a la mecánica clásica, por ejemplo la que atraviesa la cerradura, como las que serían imposibles, por ejemplo aquellas que imaginan un perdigón fantasma atravesando la puerta sin perforarla, o un perdigón etílico dando tres vueltas alrededor del soldado federal antes de dirigirse a su destino. Para cada una de esas trayectorias, la mecánica cuántica nos provee de un número conocido como su amplitud. Sumando las amplitudes de todas las trayectorias** obtenemos la probabilidad de que alguno de los perdigones disparados por nuestro pelotón de soldados cuánticos idénticamente preparados impacte en tan preciso punto de la anatomía del unitario. Para obtener la probabilidad de que algún otro de los perdigones disparados por el pelotón cuántico impacte en la bota derecha, debemos repetir el cálculo sumando las amplitudes de todas las trayectorias, posibles e imposibles, que unen el extremo del cañón con el pie del fusilador de Dorrego.

Este procedimiento de sumar sobre trayec- torias se conoce como integral de camino, y fue desarrollado por Feynman en los años '40, si bien sus lineamientos iniciales se remontan a Dirac, y se puede asociar al método para calcular trayectorias clásicas que había sido desarrollado por Hamilton y Jacobi allá por el siglo XIX. Si bien es muy sencillo de enunciar, una cualidad que comparten Dirac y Feynman en casi todas sus contribuciones a la ciencia, su fundamentación matemática es muy complicada, entre otras cosas porque el número de trayectorias es infinito y se necesitan infinitos datos para describir cada una de ellas. Como sucede recurrentemente, su utilidad para la Física se conoció mucho antes de que se pudiera formalizar matemáticamente, y motivó el ulterior desarrollo matemático.

Imaginemos por un instante que la llave estuviera puesta en la cerradura, y que por lo tanto ese camino estuviera cerrado para las balas clásicas. Es decir que de acuerdo a Newton, en ese caso el general hubiera sobrevivido, probablemente escapando hacia Potosí como era su intención. Pero si hacemos el cálculo cuántico de la integral de camino, obtenemos una probabilidad no nula de que alguno de los perdigones disparados por un conjunto de fusiles idénticamente preparados impacte en el general, aún sin perforar la puerta ni atravesar la cerradura. Eso es lo que se conoce como efecto túnel: los perdigones cuánticos pueden realizar proezas que están prohibidas para los perdigones clásicos, como por ejemplo atravesar la puerta fantasmagóricamente para llegar hasta su víctima, encontrando algún imaginario túnel a través de ella.

Pero pongamos aquí un freno a un eventual revisionismo posmo de la guerra federal sugerido por el párrafo anterior: las predicciones de la mecánica cuántica coinciden exactamente con las de su antecesora clásica cuando se trata de cuerpos lo bastante grandes, digamos más grandes que un átomo. Sucede que para un perdigón de unos pocos gramos, las amplitudes predichas por la mecánica cuántica para todas las trayectorias clásicamente prohibidas son extremadamente pequeñas, nulas en la práctica. Si la llave hubiera estado puesta, o si el fusil no hubiera estado apuntando hacia la cerradura, la suma de todas las amplitudes resultaría en una probabilidad prácticamente igual a cero de matar al general . Un fusil correctamente apuntado hacia una cerradura no obturada, resultaría en cambio en amplitudes cuya suma es indistinguible de uno, es decir en la casi certeza de que la misión federal será cumplida. Paradójicamente, este resultado se relaciona con una propiedad de la mecánica cuántica conocida como unitariedad, lo que demuestra que los físicos nada saben de historia...

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* Ver en particular este post de la serie

** y elevando el resultado al cuadrado

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